iir滤波器的基本结构及原理

无限冲激响应（IIR）滤波器是一种数字滤波器，其输出不仅取决于当前输入值，还取决于历史输入值和历史输出值。这与有限冲激响应（FIR）滤波器形成对比，后者仅依赖于当前输入值。IIR滤波器的基本结构包括直接形式、并联形式和级联形式三种类型。以下是对这些结构及其工作原理的简要概述：
1. 直接形式
直接形式是IIR滤波器最直观的表示方法，它直接展示出滤波器的差分方程结构。对于一个具有两个零点和两个极点的二阶IIR滤波器，其直接形式可以表示为：
\[ y[n] = \frac{b_0 x[n] + b_1 x[n-1] - a_1 y[n-1] - a_2 y[n-2]}{1 - a_1 z^{-1} - a_2 z^{-2}} \]
其中，\(b_0, b_1\) 是滤波器的系数，用于控制滤波器的零点；\(a_1, a_2\) 是滤波器的系数，用于控制滤波器的极点。
2. 并联形式
并联形式将滤波器分解为几个子滤波器，并通过相加来得到最终输出。这种结构可以简化计算，尤其是当滤波器的某些部分需要重复计算时。并联形式的一个例子是使用两个一阶IIR滤波器来实现二阶IIR滤波器。
3. 级联形式
级联形式是将IIR滤波器分解为其基本的二阶节（也称为二阶段或二阶单元），每个二阶节代表了滤波器的一个二阶子系统。这种结构使得滤波器的设计更加灵活，因为每个二阶节都可以独立设计以满足特定的要求，例如高通、低通或带通滤波特性。
原理
IIR滤波器的工作原理基于Z变换，它是一种离散时间信号的数学表示方法。通过将Z变换应用于差分方程，可以得出滤波器的频率响应。IIR滤波器之所以能够具有无限冲激响应，是因为它们包含反馈路径，这允许滤波器的输出根据过去的输入和输出值进行调整。
优点
- IIR滤波器通常需要较少的计算资源，尤其是在高阶滤波器中。
- 它们可以在较小的系数下实现非常陡峭的滤波器斜率。
缺点
- 实现稳定性问题：由于含有反馈，IIR滤波器可能不稳定，设计时需要仔细处理极点的位置，确保所有极点都在单位圆内。
- 实现精度问题：由于反馈的存在，IIR滤波器的实现可能比FIR滤波器更敏感于量化误差。
总之，IIR滤波器因其高效的计算和紧凑的设计而广泛应用于各种应用领域，包括音频处理、图像处理和通信系统。然而，在设计和实现过程中需要注意其潜在的稳定性和精度问题。